Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 71.

Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 49.

Ре­ше­ние. Два внеш­них угла тре­уголь­ни­ка при раз­ных вер­ши­нах равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный.

Если то две дру­гих сто­ро­ны равны 

Если то ос­но­ва­ние равно  Но та­ко­го тре­уголь­ни­ка не может су­ще­ство­вать. Зна­чит, вто­рое пред­по­ло­же­ние не­вер­но.

Ответ: 3030.

Ре­ше­ние. Так как два внеш­них угла тре­уголь­ни­ка при раз­ных вер­ши­нах равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

Если AC  =  20 см, то осталь­ные сто­ро­ны по (86 − 20) : 2  =  33 см.

Если AB  =  BC  =  20 см, то ос­но­ва­ние равно 86 − 2 · 20  =  46 см. Но та­ко­го тре­уголь­ни­ка не может су­ще­ство­вать. Зна­чит, вто­рое пред­по­ло­же­ние не­вер­но.

Ответ: 33 см, 33 см.

Ре­ше­ние. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC:

1)  

2)  Для тре­уголь­ни­ка ADC угол BAC яв­ля­ет­ся внеш­ним, сле­до­ва­тель­но,

3)  По свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ADC на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC:

1)  

2)  Для тре­уголь­ни­ка ADC угол BAC яв­ля­ет­ся внеш­ним, сле­до­ва­тель­но,

3)  По свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ADC на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)   В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CDB ги­по­те­ну­за BC вдвое длин­нее ка­те­та, DB по­это­му

2)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACB угол B равен 60°, по­это­му угол A равен 30°.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. 1)   В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CDB ги­по­те­ну­за BC вдвое длин­нее ка­те­та, DB по­это­му

2)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACB угол B равен 60°, по­это­му угол A равен 30°.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть ∠C  =  x°, ∠A = ∠B  =  2x°. По­лу­ча­ем, что

Таким об­ра­зом, ∠C  =  36°, ∠A = ∠B  =  72°. Найдём внеш­ний угол при вер­ши­не В: 180° − 72°  =  108°.

Ответ: 108°.

Ре­ше­ние. Для тре­уголь­ни­ка ABC угол DBA яв­ля­ет­ся внеш­ним, сле­до­ва­тель­но,

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке DBA

Ответ: 38°.

Ре­ше­ние. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CDA ги­по­те­ну­за AC вдвое длин­нее ка­те­та DA, по­это­му

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть ∠C  =  x°, ∠A = ∠B  =  4x°. По­лу­ча­ем, что

Таким об­ра­зом, ∠C  =  20°, ∠A = ∠B  =  80°. Найдём внеш­ний угол при вер­ши­не В: 180° − 80°  =  100°.

Ответ: 100°.

Ре­ше­ние. Для тре­уголь­ни­ка ABC угол DBA яв­ля­ет­ся внеш­ним, сле­до­ва­тель­но,

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке DBA

Ответ: 36°.

Ре­ше­ние. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CDA ги­по­те­ну­за AC вдвое длин­нее ка­те­та DA, по­это­му

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть ∠C  =  8x°, ∠A = ∠B  =  x°. По­лу­ча­ем, что

Таким об­ра­зом, ∠C  =  144°, ∠A = ∠B  =  18°. Найдём внеш­ний угол при вер­ши­не В: 180° − 18°  =  162°.

Ответ: 162°.

Ре­ше­ние. Так как АC  =  CB, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, углы BAC и ABC равны 40°. От­сю­да угол ACB равен 180° − 40° · 2  =  100°. По свой­ству смеж­ных углов, внеш­ний угол при вер­ши­не C равен 80°.

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. Углы 1 и 2 равны как вер­ти­каль­ные, по­это­му

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Углы 1 и 2 равны как вер­ти­каль­ные, по­это­му

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Так как и од­но­сто­рон­ние и их сумма равна 180°, пря­мые, ко­то­рые за­клю­ча­ют эти углы, па­рал­лель­ны. Угол, смеж­ный с углом 3 равен Этот угол и угол 4 со­от­вет­ствен­ные при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 125.

Ре­ше­ние. Угол AO₁N равен 106° как вер­ти­каль­ный с углом MO₁B. Углы и AO₁N яв­ля­ют­ся од­но­сто­рон­ни­ми, их сумма равна 180°, от­ку­да

Ответ: 74°.

Ре­ше­ние. Угол O₂O₁N равен 180° – 130°  =  50° как смеж­ный с углом MO₁B. Угол O₁O₂L равен 76° как вер­ти­каль­ный с углом KO₂B. В тре­уголь­ни­ке O₁O₂O₃ по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка:

Итак, ис­ко­мый угол равен 54° как вер­ти­каль­ный с углом O₁O₃O₂.

Ответ: 54°.

Ре­ше­ние. Угол MO₂C равен 180° – 140°  =  40°, так как он яв­ля­ет­ся од­но­сто­рон­ним с углом AO₁O₂. Углы и MO₂C яв­ля­ют­ся вер­ти­каль­ны­ми, они равны, от­ку­да

Ответ: 40°.

Ре­ше­ние. Угол MO₃D яв­ля­ет­ся внеш­ним тре­уголь­ни­ка O₁O₂O₃, он равен сумме углов и O₃O₁O₂. Угол O₃O₁O₂ яв­ля­ет­ся вер­ти­каль­ным с углом MO₁K, зна­чит, он равен 23°. Най­дем ис­ко­мый угол:

Ответ: 95°.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что углы MO₁B и AO₁O₂ равны как вер­ти­каль­ные, а углы AO₁O₂ и в свою оче­редь равны как со­от­вет­ствен­ные. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 66°.

Ре­ше­ние. Углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны. Гра­дус­ная мера внеш­не­го угла равна сумме гра­дус­ных мер двух углов, не смеж­ных с ним. Ос­но­вы­ва­ясь на этих утвер­жде­ни­ях, по­лу­ча­ем, что

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, В тре­уголь­ни­ке APC сумма углов равна 180°, по­это­му

Ответ: 117.

Ре­ше­ние. Углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны. Гра­дус­ная мера внеш­не­го угла равна сумме гра­дус­ных мер двух углов, не смеж­ных с ним. Ос­но­вы­ва­ясь на этих утвер­жде­ни­ях, по­лу­ча­ем, что

Ответ: 54.

Ре­ше­ние. Так как АC  =  CB, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, углы BAC и ABC равны 38°. От­сю­да угол ACB равен 180° − 38° · 2  =  104°. По свой­ству смеж­ных углов, внеш­ний угол при вер­ши­не C равен 76°.

Ответ: 76.

Ре­ше­ние. Так как тре­уголь­ник ABC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, углы BAC и BCA равны. Тре­уголь­ник AHC пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, Так как по­лу­ча­ем, что

Ответ: 20.