Рас­смот­рим каж­дый кусок про­во­ло­ки как путь в графе. Если он на­чи­на­ет­ся и за­кан­чи­ва­ет­ся в раз­ных вер­ши­нах, то он со­дер­жит не­чет­ное число ребер, ис­хо­дя­щих из этих вер­шин и чет­ное число ребер, ис­хо­дя­щих из любой дру­гой вер­ши­ны (все они раз­би­ва­ют­ся на пары вхо­дя­щее-ис­хо­дя­щее ребро кроме пер­во­го и по­след­не­го). Если в одной и той же  — то для нее число вер­шин также будет четно. Зна­чит, любая вер­ши­на не­чет­ной сте­пе­ни долж­на слу­жить на­ча­лом или кон­цом ми­ни­мум од­но­го из таких путей. Зна­чит, их ко­ли­че­ство не мень­ше 10 : 2  =  5 (есть 10 вер­шин не­чет­ной сте­пе­ни  — на внут­рен­них кру­гах свер­ху и снизу. Каж­дый путь имеет не более двух кон­цов).

До­ка­жем, что можно обой­тись пятью кус­ка­ми. Обо­зна­чим вер­ши­ны верх­не­го боль­шо­го круга по циклу A₁–A₅, свя­зан­ные с ними вер­ши­ны ниж­не­го за B₁–B₅, а свя­зан­ные с ними вер­ши­ны внут­рен­них кру­гов  — за C₁–C₅ и D₁–D₅ со­от­вет­ствен­но. Че­ты­ре куска сде­ла­ем ма­лень­ки­ми  — C₂C₃, C₄C₅, D₂D₃, D₄D₅, а осталь­ное можно со­гнуть из од­но­го куска

Ответ: 5.