Рас­смот­рим каж­дый кусок про­во­ло­ки как путь в графе. Если он на­чи­на­ет­ся и за­кан­чи­ва­ет­ся в раз­ных вер­ши­нах, то он со­дер­жит не­чет­ное число ребер, ис­хо­дя­щих из этих вер­шин и чет­ное число ребер, ис­хо­дя­щих из любой дру­гой вер­ши­ны (все они раз­би­ва­ют­ся на пары вхо­дя­щее⁠-⁠ис­хо­дя­щее ребро кроме пер­во­го и по­след­не­го). Если в одной и той же  — то для нее число вер­шин также будет четно. Зна­чит, любая вер­ши­на не­чет­ной сте­пе­ни долж­на слу­жить на­ча­лом или кон­цом ми­ни­мум од­но­го из таких путей. Зна­чит, их ко­ли­че­ство не мень­ше 6 : 2  =  3 (есть 6 вер­шин не­чет­ной сте­пе­ни  — все, кроме со­еди­нен­ных диа­го­на­лью. Каж­дый путь имеет не более двух кон­цов).

До­ка­жем, что можно обой­тись тремя кус­ка­ми. Обо­зна­чим вер­ши­ны куба ABCDA₁B₁C₁D₁ так, чтобы свя­за­ны ока­за­лись вер­ши­ны A и C₁. Тогда можно взять такие пути  — BCC₁B₁BAA₁D1DAC₁D₁, A₁B₁ и CD.

Ответ: 3.