Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра икосаэдра?
Решение.
Вариант обхода, в котором дважды проходятся только пять ребер, показан на рисунке. Для удобства точка A начала и точка B конца обхода отмечены. Оранжевым цветом выделены ребра, пройденные единожды, а синим — те, которые пришлось обойти дважды. Цифры соответствуют порядку прохождения. Всего ребер 30, а обошли 35.
Докажем, что 5 — это минимальное количество. При обходе необходимо выйти из начальной вершины, войти и выйти изо всех остальных вершин, кроме конечной, затем войти в конечную вершину. Следовательно, каждая из 10 промежуточных вершин икосаэдра должна быть пройдена четное число раз. В вершинах сходятся по пять ребер, поэтому понадобится один дополнительных выход, а всего их должно быть не менее 10. Каждой паре выход-вход соответствует одно ребро, а потому необходимо не менее 5 проходов по ребрам.
Ответ: 5.